§2 正多面体とGeodesic Dome の生成過程
2-1 概要§1で Geodesic Dome を定義しました。しかしこれではGeodesic Domeは無数に存在する事になりますが、実際に構造物を作る場合には、幾つか注意すべき点があります。
ａ．Geodesic Domeを構成する３角形の辺の比が１に近い値をとる。言い換えれば、正３角形に近い３角形である事。
ｂ．Geodesic Domeを構成する３角形の種類がなるべく少ない事。
ａは、力学的にみてバランスのとれた構造にするための条件であり、ｂは、実際の部材加工を容易にするための条件です。この２条件を満たすGeodesic Domeの生成法を考えます。
2-2 正多面体
球に内接する正３角形で構成される多面体構造には、正４面体、正８面体そして正20面体の３種類が存在することは周知のとおりです。
§１の定義に従えばこれらの正多面体構造もGeodesic Domeの一種だと考えることが出来ます。しかし、外観から受ける印象はごつごつしていてとてもドームとは呼べません。この正多面体をもとに、より球形に近い多面体構造＝Geodesic Domeを生成する手法を以下に示します。
2-3 Geodesic Dome の生成
まず始めに、正多面体を構成する各正３角形を更に細かい正３角形に分割します。そして、分割した正３角形の頂点の中で、外接球上にない点を外接球の中心から球面上に投影します。投影された頂点を新たな頂点とした３角形（必ずしも正3角形にはならない）によって全ての頂点で球に内接する３角形で構成された多面体構造＝Geodesic Domeが生成されます。
さて、球面上にない頂点を球面上に投影することによって、生成された新たな３角形には歪みが生じて必ずしも正３角形にはなりません。特に、もとになる正多面体の面数が少ないほどその歪みは大きくなると考えられます。そこで、実際には正20面体をもとにしてGeodesic Domeを生成することにします。
正多面体を構成する正３角形の分割方法によって二つのGeodesic Dome系が考えられます。以下にそれぞれについて説明します。
2-3-1 ClassT
最も自然な分割方法は、正20面体を構成する正３角形の３辺を等分割して、この点を通り各辺に平行な直線で分割する方法です。この分割によって生成される系をClassTと呼ぶことにします。図に、最も分割数の少ない２分割（ClassTD-2）の生成過程を示します。
まずはじめに、正３角形の各辺を２等分してこの点を通り各辺に平行な直線で分割することによって４つの正三角形に分割します。
次に、外接球上にない正３角形の頂点を球の中心から球面上に投影します。そして投影された頂点を３角形の頂点とする新たな３角形を生成します。
正20面体を構成する全ての面に対して同じ操作をすることによってClassTD-2の完全な多面体構造が生成されます。
こうして生成されるGeodesic Domeの面の数は一辺の分割数をｎとすると20ｎ×ｎ面になります。ｎ＝２の場合は80面体です。
ｎ＝２の場合、投影の対称性から赤く示した面は正３角形になり、青で示した三つの３角形は２等辺３角形になります。
